יחס ופרופורציה — שיעור בלומדים חשבון

אחרי השיעור הזה: אני יודע מה זה יחס, איך מגדילים אותו בלי לשנות אותו, ואיך עוברים דרך האחד

בואו נכין מיץ 🧃. על בקבוק התרכיז כתוב: "כוס תרכיז אחת על כל 4 כוסות מים".

אם נשים יותר מים — המיץ יהיה חלש ומימי. אם נשים פחות מים — הוא יהיה מתוק מדי. כדי שהטעם יהיה בדיוק נכון, צריך לשמור על היחס.

יחס

יחס משווה בין שתי כמויות. כותבים אותו עם נקודתיים: היחס בין תרכיז למים הוא 1:4, וקוראים "אחד לארבע". הסדר חשוב: המספר הראשון שייך למה שנאמר ראשון.

1:4

ומה אם רוצים להכין יותר מיץ? כופלים את שני המספרים באותו מספר. 2 כוסות תרכיז — 8 כוסות מים. 3 כוסות תרכיז — 12 כוסות מים. הטעם נשאר בדיוק אותו טעם.

טבלת יחס: תרכיז ומים

כוסות תרכיז	כוסות מים	פי כמה הגדלנו
1	4	פי 1
2	8	פי 2
3	12	פי 3
5	20	פי 5

יחסים כאלה נקראים "יחסים שווים", ושני יחסים שווים יחד נקראים פרופורציה. 1:4 שווה ל־2:8 ושווה ל־3:12 — בכולם יש פי 4 מים מתרכיז.

דוגמה: לעוגה צריך 3 ביצים לכל 2 כוסות קמח. כמה ביצים צריך ל־6 כוסות קמח?

שלב	מה עושים	מה יוצא
1	כותבים את היחס בסדר הנכון: ביצים לקמח	3:2
2	בודקים פי כמה גדל הקמח, מ־2 ל־6	6 ÷ 2 = 3, כלומר פי 3
3	מגדילים גם את הביצים פי 3	3 × 3 = 9
4	כמה ביצים צריך	9 ביצים

לפעמים לא רואים מיד "פי כמה". אז עוברים דרך האחד: מוצאים כמה עולה או כמה יש ביחידה אחת — ומשם לכל מספר.

דוגמה: 4 מחברות עולות 20 שקלים. כמה עולות 7 מחברות?

שלב	מה עושים	מה יוצא
1	מ־4 ל־7 אין "פי" שלם, אז עוברים דרך מחברת אחת	מחלקים ב־4
2	מחיר של מחברת אחת	20 ÷ 4 = 5
3	מחיר של 7 מחברות	7 × 5 = 35
4	התשובה	35 שקלים

⚠️ הטעות הנפוצה: להוסיף במקום לכפול. יש מי שעובר מ־1:4 ל־2:5, כי "הוסיף אחד לכל צד". אבל ב־2:5 יש רק שתיים וחצי כוסות מים לכל כוס תרכיז, ולא 4 — המיץ יוצא חזק מדי. ביחס כופלים את שני המספרים באותו מספר.

⚠️ שימו לב לסדר: "היחס בין בנים לבנות הוא 2:3" אומר 2 בנים על כל 3 בנות — לא להפך.

💡 בדיקה לבד: בכל שורה של טבלת יחס, חלקו את המספר השני בראשון. ביחס 1:4 תמיד צריך לצאת 4: 8 ÷ 2 = 4, 12 ÷ 3 = 4. שורה שיוצא בה משהו אחר — לא באותו יחס.

היחס בין תרכיז למים הוא 1:4. כמה כוסות מים צריך ל־3 כוסות תרכיז?

התשובה: 12. מגדילים את התרכיז פי 3, ולכן גם את המים: 3 × 4 = 12. אם יצא לכם 7 או 6 — הוספתם במקום לכפול.

3 עטים עולים 12 שקלים. כמה עולים 5 עטים?

התשובה: 20. עט אחד: 12 ÷ 3 = 4 שקלים. חמישה עטים: 5 × 4 = 20. אם יצא 14 — הוספתם 2 שקלים במקום לחשב כמה עולה עט אחד.